Bài 3 trang 156 SGK Đại số và Giải tích 11>

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tính ( bằng định nghĩa ) đạo hàm của mỗi hàm số sau tại những điểm đã chỉ ra :

LG a

\ ( y = x ^ 2 + x \ ) tại \ ( x_0 = 1 \ )

Phương pháp giải:

Bước 1 : Giả sử \ ( \ Delta x \ ) là số gia của đối số tại \ ( x_0 \ ), tính \ ( \ Delta y = f \ left ( { { x_0 } + \ Delta x } \ right ) – f \ left ( { { x_0 } } \ right ) \ ) .
Bước 2 : Lập tỉ số \ ( \ dfrac { { \ Delta y } } { { \ Delta x } } \ ) .
Bước 3 : Tìm \ ( \ mathop { \ lim } \ limits_ { \ Delta x \ to 0 } \ dfrac { { \ Delta y } } { { \ Delta x } } \ ) .
Kết luận \ ( f ‘ \ left ( { { x_0 } } \ right ) = \ mathop { \ lim } \ limits_ { \ Delta x \ to 0 } \ dfrac { { \ Delta y } } { { \ Delta x } } \ ) .

Lời giải chi tiết:

Giả sử \ ( ∆ x \ ) là số gia của số đối tại \ ( x_0 = 1 \ ). Ta có :

\(\begin{array}{l}
\Delta y = f\left( {1 + \Delta x} \right) – f\left( 1 \right)\\
\,\,\,\,\,\, = {\left( {1 + \Delta x} \right)^2} + \left( {1 + \Delta x} \right) – {1^2} – 1\\
\,\,\,\,\, = 1 + 2\Delta x + {\left( {\Delta x} \right)^2} + 1 + \Delta x – 2\\
\,\,\,\,\, = \Delta x\left( {\Delta x + 3} \right)\\
\Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \Delta x + 3\\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {\Delta x + 3} \right) = 3
\end{array}\)

Vậy \ ( f ‘ ( 1 ) = 3 \ ) .

Cách khác:

\(\begin{array}{l}
f\left( x \right) = {x^2} + x \Rightarrow f\left( 1 \right) = 2\\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{f\left( x \right) – f\left( 1 \right)}}{{x – 1}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{{x^2} + x – 2}}{{x – 1}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{\left( {x – 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x – 1}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 2} \right)\\
= 1 + 2\\
= 3\\
\Rightarrow f’\left( 1 \right) = 3
\end{array}\)

LG b

\ ( y = \ dfrac { 1 } { x } \ ) tại \ ( x_0 = 2 \ )

Lời giải chi tiết:

Giả sử \ ( ∆ x \ ) là số gia của số đối tại \ ( x_0 = 2 \ ). Ta có :

\(\begin{array}{l}
\Delta y = f\left( {2 + \Delta x} \right) – f\left( 2 \right)\\
\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{{2 + \Delta x}} – \dfrac{1}{2}\\
\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{2 – 2 – \Delta x}}{{2\left( {2 + \Delta x} \right)}} = \dfrac{{ – \Delta x}}{{2\left( {2 + \Delta x} \right)}}\\
\Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{{ – 1}}{{2\left( {2 + \Delta x} \right)}}\\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {\dfrac{{ – 1}}{{2\left( {2 + \Delta x} \right)}}} \right) = \dfrac{{ – 1}}{{2.2}} = – \dfrac{1}{4}
\end{array}\)

Vậy \ ( f ‘ ( 2 ) = – \ dfrac { 1 } { 4 } \ ) .

Cách khác:

\(\begin{array}{l}
f\left( x \right) = \dfrac{1}{x} \Rightarrow f\left( 2 \right) = \dfrac{1}{2}\\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{f\left( x \right) – f\left( 2 \right)}}{{x – 2}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{\dfrac{1}{x} – \dfrac{1}{2}}}{{x – 2}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{\dfrac{{2 – x}}{{2x}}}}{{ – \left( {2 – x} \right)}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( { – \dfrac{1}{{2x}}} \right)\\
= – \dfrac{1}{{2.2}} = – \dfrac{1}{4}\\
\Rightarrow f’\left( 2 \right) = – \dfrac{1}{4}
\end{array}\)

LG c

\ ( y = \ dfrac { x + 1 } { x-1 } \ ) tại \ ( x_0 = 0 \ )

Lời giải chi tiết:

Giả sử \ ( ∆ x \ ) là số gia của số đối tại \ ( x_0 = 0 \ ). Ta có :

\(\begin{array}{l}
\Delta y = f\left( {\Delta x} \right) – f\left( 0 \right)\\
\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\Delta x + 1}}{{\Delta x – 1}} – \dfrac{{0 + 1}}{{0 – 1}}\\
\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\Delta x + 1}}{{\Delta x – 1}} + 1\\
\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\Delta x + 1 + \Delta x – 1}}{{\Delta x – 1}} = \dfrac{{2\Delta x}}{{\Delta x – 1}}\\
\Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{2}{{\Delta x – 1}}\\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {\dfrac{2}{{\Delta x – 1}}} \right) = \dfrac{2}{{ – 1}} = – 2
\end{array}\)

Vậy \ ( f ‘ ( 0 ) = – 2 \ ) .

Cách khác:

\(\begin{array}{l}
f\left( x \right) = \dfrac{{x + 1}}{{x – 1}} \Rightarrow f\left( 0 \right) = – 1\\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x \right) – f\left( 0 \right)}}{{x – 0}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\dfrac{{x + 1}}{{x – 1}} + 1}}{x}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\dfrac{{x + 1 + x – 1}}{{x – 1}}}}{x}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\dfrac{{2x}}{{x – 1}}}}{x}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{2}{{x – 1}}\\
= \dfrac{2}{{0 – 1}} = – 2\\
\Rightarrow f’\left( 0 \right) = – 2
\end{array}\)

 Loigiaihay.com

Bài viết liên quan
0964826624
icons8-exercise-96 chat-active-icon